Divergencia en sistemas curvilíneos

Buenas, hoy culminare con esta serie de post sobre la divergencia que por cuestiones de comodidad he dividido en tres partes.

Retomando lo que comente al principio del post anterior sobre la derivada de un vector respecto a un parámetro es un vector, en coordenadas cartesianas esto es la derivada de las componentes ya que las derivadas de la base es 0 porque no depende de parámetros

$\frac{d(x^i\vec{e}_i)}{d\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda}\vec{e}_i + \frac{d\vec{e}_i}{d\lambda}x^i$

$\frac{d(x^i\vec{e}_i)}{d\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda}\vec{e}_i + 0x^i$

$\frac{d(x^i\vec{e}_i)}{d\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda}\vec{e}_i$

Ahora en el caso de un espacio no ortogonal esto no se cumple de esta manera, ya que algunas bases depende de ciertos parámetros, es decir cambia según el punto y tenemos que

$\frac{d(x^i\vec{\epsilon}_i)}{d\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda}\vec{\epsilon}_i + \frac{d\vec{\epsilon}_i}{d\lambda}x^i$

Siendo épsilon una base genérica. Solamente daré una breve explicación ya que si hago el cálculo o un ejemplo más ilustrativo se haría el post muy largo y además que no es precisamente el tema en cuestión. ahora bien, la derivada de un vector es un vector, en coordenadas cartesianas lo podemos apreciar fácilmente como explique anteriormente, pero en coordenadas no-ortogonales ¿qué pasa? hay dos términos en la derivada ¿cómo pueden ser esto un vector? ya que $\frac{dx^i}{d\lambda}\vec{\epsilon}_i$ por sí sola no es la componente de la derivada del vector ya que esta sumada al termino $\frac{d\vec{\epsilon}_i}{d\lambda}x^i$ este asume un valor distinto de 0 y hay que tomarlo en cuenta, por lo tanto ninguno de estos dos términos por si solos representa las componentes de un vector, pero la suma si representa un vector ¿aun no lo ven? bueno no importa como los físicos son flojos y les gusta las cosas lo mas simplificadas posibles, además de no copiar tanto jajá (una de las razones por la que Einstein suprimió el índice de suma y dio a conocer su convención) todo esto lo expresaron como la derivada absoluta y es de esta manera se puede apreciar fácilmente lo mencionado antes, recordando que era la derivada absoluta, pueden leer de mi post anterior de donde salen bien estos términos no lo volveré a explicar todo

$\frac{d(x^i\vec{\epsilon}_i)}{d\lambda} = (\frac{dx^i}{d\lambda} + \Gamma_{jk}^i\dot{q}^jx^k)\vec{\epsilon}_i$

$\frac{Dx}{D\lambda} = \frac{dx^i}{d\lambda} + \Gamma_{jk}^i\dot{q}^jx^k$

$\frac{d(x^i\vec{\epsilon}_i)}{d\lambda} = \frac{Dx^i}{D\lambda}\vec{\epsilon}_i$

Y ahora sí, la derivada de un vector en un espacio no ortogonal es igual a la derivada absoluta de la componente, esto era para que tuvieran un poco de cultura general, ahora si a el tema principal del post empezare con lo principal transformar nuestro vector expresado en las base de vectores $\vec{e}_i$ a la base de coordenadas esféricas les recuerdo que nuestro vector era $\vec{r} = ( x, y, z)$ y se expresa como

$x=x(r,\theta,\phi)=rsen\theta cos\phi$

$y=y(r,\theta,\phi)=rsen\theta sen\phi$

$z=z(r,\theta,\phi)=rcos\theta$

Expresando el vector r por medio de sus bases tenemos

$\vec{r} = (rsen\theta cos\phi)\vec{e}_1 + (rsen\theta sen\phi)\vec{e}_2 + (rcos\theta)\vec{e}_3$

Sacando factor común r y haciendo 1=x, 2=y y 3=z

$\vec{r} = r[(sen\theta cos\phi)\vec{e}_x + (sen\theta sen\phi)\vec{e}_y + (cos\theta)\vec{e}_z]$

bien, ya tenemos algo, pero como podemos continuar si no sabemos como están expresadas las bases $\vec{\epsilon}_r, \vec{\epsilon}_\theta, \vec{\epsilon}_\phi$ en función de las $\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z$ bueno en el post de cambio de coordenadas que hice hable sobre esto así que no lo volveré a explicar todo y simplemente sacare la expresión de como se expresa la nueva base( $\vec{\epsilon}_i$ ) en función de las viejas ( $\vec{e}_i)$

$\vec{\epsilon_{i}}=\frac{\partial x^k}{\partial q^{i}}\vec{e_k}$

Expandiendo un poco la convención de Einstein tenemos para las $i=r,\theta,\phi$

$\vec{\epsilon_{r}}=\frac{\partial x^k}{\partial q^{r}}\vec{e_k}$ $\Longrightarrow$ $\vec{\epsilon_{r}}=\frac{\partial x^k}{\partial r}\vec{e_k}$

$\vec{\epsilon_{\theta}}=\frac{\partial x^k}{\partial q^{\theta}}\vec{e_k}$ $\Longrightarrow$ $\vec{\epsilon_{\theta}}=\frac{\partial x^k}{\partial \theta}\vec{e_k}$

$\vec{\epsilon_{\phi}}=\frac{\partial x^k}{\partial q^{\phi}}\vec{e_k}$ $\Longrightarrow$ $\vec{\epsilon_{\phi}}=\frac{\partial x^k}{\partial \phi}\vec{e_k}$

Ahora expandamos las k, de la manera k=x,y,z

$\vec{\epsilon_{r}}=\frac{\partial x^k}{\partial r}\vec{e_k}$

$\vec{\epsilon_{r}}=\frac{\partial x^x}{\partial r}\vec{e_x} + \frac{\partial x^y}{\partial r}\vec{e_y} + \frac{\partial x^z}{\partial r}\vec{e_z}$

$\vec{\epsilon_{r}}=\frac{\partial x}{\partial r}\vec{e_x} + \frac{\partial y}{\partial r}\vec{e_y} + \frac{\partial z}{\partial r}\vec{e_z}$

$\vec{\epsilon_{\theta}}=\frac{\partial x}{\partial \theta}\vec{e_x} + \frac{\partial y}{\partial \theta}\vec{e_y} + \frac{\partial z}{\partial \theta}\vec{e_z}$

$\vec{\epsilon_{\phi}}=\frac{\partial x}{\partial \phi}\vec{e_x} + \frac{\partial y}{\partial \phi}\vec{e_y} + \frac{\partial z}{\partial \phi}\vec{e_z}$

Sentí que no era necesario repetir los 3 pasos que hice con $\vec{\epsilon}_r$ ahora pasamos a sustituir los respectivos valores de x,y,z de la misma manera anterior lo hare paso por paso con el $\vec{\epsilon}_r$ y para los demás los hare directo

$\vec{\epsilon_{r}}=\frac{\partial x}{\partial r}\vec{e_x} + \frac{\partial y}{\partial r}\vec{e_y} + \frac{\partial z}{\partial r}\vec{e_z}$

$\vec{\epsilon_{r}}=\frac{\partial (rsen\theta cos\phi)}{\partial r}\vec{e_x} + \frac{\partial (rsen\theta sen\phi)}{\partial r}\vec{e_y} + \frac{\partial rcos\theta}{\partial r}\vec{e_z}$

Hacemos las respectivas derivadas y tenemos

$\vec{\epsilon}_r = sen\theta cos\phi \vec{e}_x + sen\theta sen\phi \vec{e}_y + cos\theta \vec{e}_z$

Respectivamente haciendo las derivadas para $\vec{\epsilon}_\theta$ $\vec{\epsilon}_\phi$ obtenemos

$\vec{\epsilon_{\theta}}=\frac{\partial (rsen\theta cos\phi)}{\partial \theta}\vec{e_x} + \frac{\partial (rsen\theta sen\phi)}{\partial \theta}\vec{e_y} + \frac{\partial rcos\theta}{\partial \theta}\vec{e_z}$

$\vec{\epsilon_{\theta}}= rcos\theta cos\phi \vec{e}_x + rcos\theta sen\phi \vec{e}_y - rsen{\theta}\vec{e}_z$

$\vec{\epsilon_{\phi}}=\frac{\partial (rsen\theta cos\phi)}{\partial \phi}\vec{e_x} + \frac{\partial (rsen\theta sen\phi)}{\partial \phi}\vec{e_y} + \frac{\partial rcos\theta}{\partial \phi}\vec{e_z}$

$\vec{\epsilon_{\phi}}= -rsen\theta sen\phi \vec{e}_x + rsen\theta cos\phi \vec{e}_y + 0\vec{e}_z$

Y aquí tenemos la base ( $\vec{\epsilon}_i$ ) en funcion de ( $\vec{e}_i)$ volvamos a nuestro vector

$\vec{r} = r[(sen\theta cos\phi)\vec{e}_x + (sen\theta sen\phi)\vec{e}_y + (cos\theta)\vec{e}_z]$

Si buscan en las bases vemos que hay una que concuerda perfectamente en esta expresión y la sustituimos para obtener

$\vec{r} = r\vec{\epsilon}_r$

Y así se expresa nuestro vector r en coordenadas esféricas, donde su única componente es lo que multiplica a $\vec{\epsilon}_r$ es decir r, esto nos facilitara mucho las cosas más adelante ya veremos, ahora que tenemos nuestro vector en la nueva base recordare las definiciones de divergencia y el símbolo de christoffel

$\bigtriangledown_ix^i = \partial _ix^i + \Gamma_{ij}^ix^j$

$\Gamma_{ij}^i = \frac{1}{2}g^{ik}(\partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij})$

Ya casi llegamos, nos falta saber cómo es la métrica en este espacio de coordenadas esféricas, de nuevo esto fue algo que explique en el post de cambio de coordenadas así que no lo volveré a explicar, definiré como se hace y los vectores base ya los tienen listos arriba por eso los desarrolle porque como vieron no nos fueron realmente útiles en esa parte y la métrica se define como

$g_{ik} =$ $\vec{v_{i}}$ . $\vec{v_{k}}$

$g_{ik} =$ $\left(\begin{matrix} \vec v_1.\vec v_1 & \vec v_1.\vec v_2 & \vec v_1.\vec v_3 \\\vec v_2.\vec v_1 & \vec v_2.\vec v_2 & \vec v_3.\vec v_3 \\ \vec v_3.\vec v_1 & \vec v_3.\vec v_2 & \vec v_3.\vec v_3\end{matrix}\right)$

$\vec{v} = \vec{\epsilon}$ y los indices 1,2,3 corresponden a $r,\theta,\phi$ respectivamente, ya tienen todas las herramientas para hacerlos uds. mismos igual es solo un producto escalar que se ve en bachillerato… bueno y la métrica queda definida de la manera

$g_{ik} =$ $\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2sen^2\theta\end{matrix}\right)$

y para calcular su inversa, se le calcula la inversa como a una matriz común y corriente, de nuevo como nos enseñaron en bachillerato(aquí apreciamos que lo que nos enseñaron en bachillerato no fue inútil)

$g^{ik} =$ $\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^-2 & 0 \\ 0 & 0 & r^{-2}sen^{-2}\theta\end{matrix}\right)$

Bueno ya tenemos todas las herramientas para calcular la divergencia, y comenzaremos calculando el símbolo de christoffel

$\bigtriangledown_ix^i = \partial _ix^i + \Gamma_{ij}^ix^j$

$\Gamma_{ij}^i = \frac{1}{2}g^{ik}(\partial_i g_{jk} + \partial_j g_{ik} - \partial_k g_{ij})$

Directamente podemos ver que el símbolo de christofel multiplica a un término que son las componentes del vector, recordando que el vector solamente tiene una componente no tiene sentido expandir este término y lo reducimos a la siguiente expresion

$\bigtriangledown_ix^i = \partial _ix^i + \Gamma_{ir}^ix^r$

Y redefinimos el símbolo de christoffel

$\Gamma_{ir}^i = \frac{1}{2}g^{ik}(\partial_i g_{rk} + \partial_r g_{ik} - \partial_k g_{ir})$

Por cuestiones de comodidad trabajare los índices cuando estén en la matriz como números como he venido haciendo es decir $r=1, \theta=2 , \phi=3$ , solamente para donde haya una derivada parcial trabajare con estos índices

$\Gamma_{i1}^i = \frac{1}{2}g^{ik}(\partial_i g_{1k} + \partial_1 g_{ik} - \partial_k g_{i1})$

Ahora expandamos para i=1

$\Gamma_{11}^1 = \frac{1}{2}g^{1k}(\partial_1 g_{1k} + \partial_1 g_{1k} - \partial_k g_{11})$

Si revisamos en la matriz inversa vemos que solo tiene sentido decir que k=1

$\Gamma_{11}^1 = \frac{1}{2}g^{11}(\partial_1 g_{11} + \partial_1 g_{11} - \partial_1 g_{11})$

$\Gamma_{11}^1 = \frac{1}{2}1(\partial_r g_{11} + \partial_r g_{11} - \partial_r g_{11})$

$\Gamma_{11}^1 = \frac{1}{2}1(\partial_r 1 + \partial_r 1 - \partial_r 1)$

$\Gamma_{11}^1 = 0$

Como el termino $g_{11}=1$ sus derivadas son 0 y este término se hace 0, ahora haremos i = 2

$\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}g^{2k}(\partial_2 g_{1k} + \partial_1 g_{2k} - \partial_k g_{21})$

De nuevo viendo la matriz inversa vemos que solamente si k=2 este expresión tendría sentido

$\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}g^{22}(\partial_2 g_{12} + \partial_1 g_{22} - \partial_2 g_{21})$

Ahora sustituimos las componentes de las matrices y tenemos

$\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}r^{-2}(\partial_{\theta} 0 + \partial_r r^{2} - \partial_{\theta} 0)$

$\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}r^{-2}(\partial_r r^{2})$

$\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{2}r^{-2}2r$

$\Gamma_{21}^2 = \frac{1}{r}$

Bien, ya vemos que un termino del símbolo de christoffel no es igual a 0, ahora veamos que pasa para cuando i=3

$\Gamma_{31}^3 = \frac{1}{2}g^{3k}(\partial_3 g_{1k} + \partial_1 g_{3k} - \partial_k g_{31})$

De nuevo solo tiene sentido decir que k=3, por si acaso no lo vieron solo tiene sentido decir esto porque si revisan la matriz inversa verán que para cuando k = 2 entonces $g^{32}=0$ y para cuando k= 1 $g^{31}=0$